8年级6班  鲁浩翔

      在学习数学的过程中，许多问题不能仅仅用一种思维去思考。当你用不同的方式去分析同一个问题时，你会有不同的见解，并从中获得无穷的乐趣。

      下面仅举一例说明多角度考虑问题的重要性。

      已知一个多边形的内角和是外角和的4倍，求这个多边形的边数。

      此题的一般思路是：任何多边形的外角和都为360°，内角和是外角和的4倍，则此多边形的内角和是4×360°。又n边形的内角和为（n-2）×180°，由此可得方程（n-2）×180°=4×360°，解得n=10.

这个问题还有其它思考方式

      （1）整体思考。由于过同一个顶点的内角与外角之和为一个平角，所以，多边形有多少条边，就有多少个这样的平角，由已知可知内角和是外角和的四倍，而外角和是两个平角，因此内角和是8个平角，这样内外角的和就是10个平角，因此，多边形的边数就是10。

      算式为：2+2×4=10，也可以1800/180=10

      （2）特殊思考。由于所求的问题是多边形的边数，题目的已知条件中并没有对多边形的形状进行限制，所以该问题应该与多边形的形状无关，因此取特殊形状的多边形进行计算，得到的结果就是一般情况的结论，因此有如下思考。

      假设所求多边形的每个内角都相等，则每个外角也都相等，由于内角和是外角和的4倍，所以，每个每个内角是每个外角的4倍，又因为过同一顶点的内外角之和等于一个平角，所以每一个外角是平角的五分之一，而外角和为两个平角，所以必有2÷（1/5）=10.

      (3)利用过一个顶点的对角线划分的三角形个数考虑

多边形的内角和等于用过一个顶点的对角线划分的三角形的个数来表示，有一个三角形，内角和就包含一个平角，由于已知内角和为外角和的4倍，则内角和一定是8个平角，由上面的分析可知，过一个顶点的对角线必将把多边形分成8个三角形，要分成8个三角形，他的顶点数必为10，所以所求的多边形为10边形。

      （4）对多边形进行利用等内角和变形，变形后的顶点认为原多边形的顶点，而其他变都到了变形后多边形的边上，这样有几个边在变形后的边上，就对应多少个平角。

      （5）更为特殊的是把n边形转化为一条线段，使线段的两个端点为多边形的两个端点，这样这两个端点对应的内角均为0°，而其它（n-2）个点均“跑到”线段的内部，每个点对应的内角均为一个平角，由已知，多边形的内角和为8个平角，所以西安段内必有八个点，所以多边形为10边形。

      利用这种思想，若知道多边形的内角和，就可以求出它的顶点数，今儿可求多边形的边数。由题意知该多边形的内角和为8个平角，也可以认为4个平角。把原多边形变形为三角形，则三角形的三个内角和为一个平角，这样还有7个平角，因此必须有7个顶点被拉到了边上，因此所求多边形的边数为3+7=10（边形）；同样的思想，还可以把多边形拉成长方形，长方形的内角和为2个平角，由题意知还有6个平角的内角，所以应有6个顶点被拉到了边上，所以多边形的边数为4+6=10。

      （李守峰：上述第一类思考是鲁浩翔在周考的试卷上反映出来的，因为他的这种解法被扣了4分（否则他就是全卷满分），在我讲评试卷的时候，他直接问我，老师我这道题错在哪里？当时我被问的哑口无言，说不对，结果又安全正确，说不错，又有点凑数的感觉。作为老教师，我当时机灵一动，这个问题咱下课在研究，请我先把其它问题讲完。就这样把问题抛到了课后。

      课后反思：该同学的思维非常好，其独特的解法让我耳目一新，该同学为什么有这样开放的想法，我想有以下几点。（1）该同学具有良好的学习习惯，凡是肯钻研，在我刚开始带他课的时候，他曾经告诉我，他不会的问题在网上搜答案，然后研究。一开始，他还认为我要批评。可我一听，不但没有批评，反而大加表扬。网络是最好的老师，如果把上网用在学习上，学生掌握知识的宽度要远远大于教师的传授！因此，好多同学乐于上网，乐于查找问题的答案。其次鲁浩翔同学兴趣广泛，不拘泥于现成的死记硬背，凡是总想从多角度思考，以寻求解决问题的多个渠道，因此才有如此发散思维。第三，学生的创新意识培养需要老师的引导，这就要求我们在讲授知识的过程中，不要刻意强调解题规范，更不要对问题进行过分的归纳，否则学生的思维将会完全限在老师的套套当中，学生一旦见到了老师总结过的问题，就非常轻松简单的得出教师所期望的结果，甚至还会为学生的严密逻辑而高兴，其实，学生已经成了做题的机器。一旦遇到生僻的问题，学生就会惊慌失措，从而丧失独立思考的品质。相反，少给学生一些条条框框，让学生在自己的思维天空中去领会，去感悟，这样取得的知识才是灵动的！第四，发现创新火苗，立即点燃火把。当我发现学生的良好思路时，大加表扬，一方面鼓励个人，更多的是借此鼓励大家。顺势而行，因势利导，我又让他继续深入思考，总结提升。

      特别使我欣慰的是沂州实验的课堂正在发生着深刻的变革，主题学习、小组合作、选课走班等都在培养学生的能力方面进行努力的探索，鲁浩翔仅仅是众多优秀学生的代表。因为没有事先集中老师当中的素材，所以才仅有此例。